Tracé des trajectoires

1. Notion de sens de parcours de la trajectoire.

   En traçant la courbe avec des couleurs bien choisies on peut représenter le sens de parcours de la trajectoire. Pour cela il suffit de prendre une suite de couleurs qui ne forment pas un palindrome.
   Exemple :
   Soit la suite [....bleu, blanc, rouge, blanc, bleu, blanc, rouge, blanc...]. Cette suite forme un palindrome car on peut la lire indifféremment de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche (la suite comporte des symétries). Une telle suite ne permet donc pas de déterminer un sens de lecture.
   Par contre la suite [...bleu, rouge, jaune, vert, bleu, rouge, jaune, vert, bleu, rouge, jaune, vert...] ne peut se lire dans les deux sens (la suite ne comporte pas de symétries).
   Le sens de lecture nous est donc imposé. Ainsi on peut déterminer un sens de déplacement suivant les couleurs.

   Tracé de coniques.

   Les coniques sont ici tracées à partir de leurs équations polaires.
   

   La fonction " color_conique " trace une conique en couleur à partir des paramètres qu'on lui définit.
   

   Elle reçoit en argument une comète, un repère, le paramètre plein ou point, le nombre de point à tracer (plus celui ci sera élevé, plus la résolution sera grande. 500 points donne déjà un résultat tout à fait satisfaisant, tant au niveau du rendu graphique que du temps d'exécution), un tableau de couleurs, l'angle minimal pour le tracé en polaire et la longueur de l'intervalle à tracer.
   
   

   let color_conique nom repere pp n tableau depart intervalle=
     let dt=(intervalle)/.(float_of_int n)
     and valeur p e teta aap=p/.(1.+.(e*.cos(teta-.aap)))
     and p=nom.equ.p and e=nom.equ.e and aap=nom.equ.aap in
     let t=ref(depart+.aap+.dt) in
     begin
     match pp with
     |plein ->set_color (n_element tableau 1);
              move_rep {x=(valeur p e (!t) aap)*.cos(!t);y=(valeur p e (!t) aap)*.sin(!t)} repere;
              for i=2 to n-1 do
                t:=!t+.dt;
                set_color (n_element tableau i);
                line_rep {x=((valeur p e !t aap)*.cos(!t));y=((valeur p e !t aap)*.sin(!t))} repere;
              done;
     |point ->for i=1 to n-1 do
                set_color (n_element tableau i);
                point_rep {x=((valeur p e !t aap)*.cos(!t));y=((valeur p e !t aap)*.sin(!t))} repere;
                t:=!t+.dt;
              done;
     end;
     set_color black;;
   
   #color_conique :.comete -> repere -> plein_point -> int -> color vect -> float -> float -> unit = <fun>

   On peut alors tracer les trajectoires de comètes de façon automatique. On utilise alors la fonction " trace_comete " qui compare les variables de la conique afin de choisir l'angle minimal et la longueur de l'intervalle. Dans le cas d'une hyperbole la fonction ne trace que l'une des deux branches (celle définie par le type foyer). " trace_comete " prend alors en argument une comète, un repère, le paramètre plein ou point, le nombre de point à calculer et un tableau de couleurs.
   

   let trace_comete nom repere pp n tableau=
   match (nom.equ.e) with
      |1.0->color_conique nom repere pp n tableau (-.Pi) (2.*.Pi)
      |x when x<.1. ->color_conique nom repere pp n tableau (0.) (2.*.Pi)
      |x ->let g=acos(-.1./.x) in
            match (nom.foyer) with
              |soleil->color_conique nom repere pp n tableau (-.g) (2.*.g)
              |autre->color_conique nom repere pp n tableau (g) ((2.*.Pi)-.(2.*.g));;
   
   #trace_comete : comete -> repere -> plein_point -> int -> color vect -> unit = <fun>

   Tracé de trajectoires

   Il ne reste plus qu'à définir une fonction " trajectoire " très simple qui prend en argument une comète, le paramètre plein ou point, le centre de l'écran et la largeur de la fenêtre (cette fonction utilisera la fonction " vision " afin d'avoir un repère orthonormal.) Remarque : Cette dernière fonction n'est en fait qu'une procédure combinant les fonctions précédentes. Il ne s'agit donc que d'une suggestion. Des dizaines d'autres procédures différentes pourraient être écrites. On peut d'ailleurs en écrire certaines qui traceraient plusieurs trajectoires.
   

   let trajectoire comète pp centre largeur=clear_graph();
   let repere=(vision centre largeur) in
   fond_ecran black;
   ciel 150 [|white;yellow;cyan|];
   trace_rep repere 1 blue;
   astre_solaire ((comète.equ.p)/.5.) repere;
   trace_comete comète repere pp 500 [|blue;white;red;yellow;magenta|];;
   
   #trajectoire : comete -> plein_point -> float * float -> float -> unit = <fun>

   Exemple:

   Nous allons tracer en exemple la trajectoire de la désormais célèbre comète de Halley. Il s'agit d'une comète d'excentricité proche de 1 (donc sa trajectoire est très allongée). Ses éléments orbitaux lors de son dernier passage en 1986 étaient : q=0.5871 ua ; e=0.9673 ;i=162.24° ; =58.14° ;=111.85° avec : q=distance au périhélie, e=excentricité, i=inclinaison orbitale, =longitude du noeud ascendant, =argument du périhélie. Pour représenter la trajectoire de la comète dans son plan de révolution on utilise donc simplement les paramètres q, e et . On a alors comète={equ={e=e; p=q*(1+e); aap=} ;foyer=soleil}.
   D'où :
   trajectoire {equ={e=0.9673;p=(0.5871*.1.9673);aap=(111.85*.Pi/.180.)};foyer=soleil} point (-.3.,-.20.) 65.;;
   - : unit = ()

Les unités en abscisse sont en ua (unité astronomique=146.6 millions de km =distance moyenne terre/soleil).
Agrandissement au voisinage du soleil. trajectoire equ={e=0.9673; p=(0.5871*.1.9673); aap=(111.85*.Pi/.180.)}; foyer=soleil} point (0.,-.2.) 8.;;